Comment implémenter un test de qualité Lucas-Lehmer à grand nombre avec PHP et GMP

Comment implémenter le test de primabilité Lucas-Lehmer avec de grands nombres en utilisant PHP et GMP

Le test primaire de Lucas-Lehmer est un algorithme couramment utilisé pour juger du nombre de Mersenne et est largement utilisé dans la théorie des nombres et la cryptographie. Les nombres de Mersenne sont des entiers de la forme 2 ⁿ - 1, où n est un entier positif. Cet article montrera comment utiliser les bibliothèques PHP et GMP pour implémenter ce test principal pour déterminer si un numéro de Mersenne est un nombre premier.

Installer et configurer la bibliothèque GMP

Tout d'abord, assurez-vous que votre environnement PHP a installé la bibliothèque GMP. Vous pouvez utiliser la commande phpinfo () pour vérifier si la bibliothèque GMP est installée. Si ce n'est pas installé, vous pouvez activer l'option GMP lors de la compilation de PHP ou l'installer via le gestionnaire de packages dans le système Linux.

Implémentation de la fonction de test primaire Lucas-Lehmer

En PHP, les opérations à grand nombre peuvent être effectuées à l'aide de la bibliothèque GMP. Voici un exemple de fonction PHP qui implémente le test primitif Lucas-Lehmer:

 
function lucasLehmerTest($n) {
    $s = gmp_init(4);
    $m = gmp_sub(gmp_pow(2, $n), 1);

    for ($i = 0; $i < $n - 2; $i++) {
        $s = gmp_mod(gmp_sub(gmp_mul($s, $s), 2), $m);
    }

    return gmp_cmp($s, 0) == 0;
}

Cette fonction accepte un paramètre n, représentant l'exposant du numéro Mersenne. La fonction calcule chaque élément de la séquence Lucas-Lehmer et vérifie si le dernier élément est 0. Si Vrai est renvoyé, cela signifie que le numéro de Mersenne est un nombre premier; Si FALSE est renvoyé, cela signifie que le numéro Mersenne n'est pas un nombre premier.

Appelez la fonction de test primaire Lucas-Lehmer

Ensuite, la fonction ci-dessus peut être utilisée pour effectuer le test de propriété du numéro Mersenne. Voici un exemple pour détecter si le numéro de Mersenne est un nombre premier:

 
$n = 29; // Choisissez un index approprié，Ici29Par exemple
$isPrime = lucasLehmerTest($n);

if ($isPrime) {
    echo "2^{$n} - 1 C'est un nombre premier";
} else {
    echo "2^{$n} - 1 不C'est un nombre premier";
}

Dans cet exemple, nous avons sélectionné un indice de 29 pour les tests, puis jugé si le numéro Mersenne est un nombre premier basé sur la valeur de retour.

Optimisation des performances

Étant donné que le test primaire Lucas-Lehmer est calculé en grande quantité, cela peut prendre beaucoup de temps pour des valeurs N plus grandes. Pour améliorer les performances, les stratégies d'optimisation suivantes peuvent être prises en compte:

• Si N lui-même est un nombre premier, alors 2 ^N - 1 peut également être un nombre premier.
• n doit être un nombre impair pour éviter le calcul non valide du nombre uniforme n.
• Filtrez les valeurs N inférieures à 64, ces cas ont été vérifiés.

Avec ces optimisations, la vitesse d'exécution de l'algorithme peut être considérablement améliorée, en particulier lorsqu'il s'agit de plus grands nombres de Mersenne.

en conclusion

Cet article présente comment utiliser les bibliothèques PHP et GMP pour implémenter les tests de primabilité Lucas-Lehmer. En utilisant GMP pour les opérations de grand nombre, vous pouvez déterminer efficacement si un nombre de Mersenne est un nombre premier. De plus, certaines suggestions d'optimisation des performances sont fournies pour aider à accélérer les calculs. J'espère que cet article sera utile aux lecteurs qui souhaitent comprendre cet algorithme.