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在數論中，Lucas-Lehmer素性測試是一種用於判斷Mersenne數（默尼森數）是否為素數的高效方法。在本文中，我們將結合PHP語言和GMP擴展（GNU Multiple Precision Arithmetic Library，GNU多精度數學庫）來實現Lucas-Lehmer素性測試，並提供完整的代碼示例。
Lucas-Lehmer素性測試是一種專門用於檢測形如M = 2^n - 1 的Mersenne數是否為素數的算法，其中n 是大於1的正整數。測試基於Lucas-Lehmer序列，通過迭代計算序列的每個元素，最後判斷序列最後一個元素是否為零，從而決定Mersenne數的素性。
PHP的內置函數無法處理非常大的整數運算，因此需要使用GMP擴展。在安裝PHP時，可以選擇啟用GMP擴展的版本，或在現有環境中啟用GMP擴展。
function lucasLehmerTest($n)
{
$s = '4';
$m = gmp_pow('2', $n) - '1';
for ($i = 1; $i < $n - 1; $i++) {
$s = gmp_mod(gmp_pow($s, 2) - 2, $m);
}
if ($s == '0') {
return true;
}
return false;
}解析：
函數中使用gmp_pow計算2的$n$次方減去1得到$m$，然後循環$n-1$次迭代計算Lucas-Lehmer序列，最後判斷序列最後一個元素是否為零以確定素性。
$exponents = [2, 3, 5, 7, 13, 17];
foreach ($exponents as $exponent) {
$result = lucasLehmerTest($exponent);
if ($result) {
echo "2^$exponent - 1 is a prime number.";
} else {
echo "2^$exponent - 1 is not a prime number.";
}
}解析：
我們定義一個數組$exponents，包含多個指數值，然後使用foreach循環調用Lucas-Lehmer素性測試函數，根據測試結果輸出判斷信息。
通過PHP和GMP擴展，可以方便地實現Lucas-Lehmer素性測試，並判斷大整數是否為素數。對於大型Mersenne數的素性判斷，Lucas-Lehmer算法效率較高，能夠快速得出結果。本文提供的代碼示例可作為實際操作參考。
